*Wir passen den Kursaufbau und die Inhalte an Ihre spezifischen Anforderungen und relevanten Anwendungsfälle an.
Tag 1 – Von der physikalischen Problemstellung zum Finite-Elemente-Modell
Einführung in die Finite-Elemente-Methode
- Was passiert intern in einem FEM-Programm?
- Von einem kontinuierlichen physikalischen Problem zum diskreten numerischen Modell
- Diskretisierung und Netze
- Knoten und Elemente
- Freiheitsgrade
- Physikalische und materielle Parameter
- Lasten, Quellterme und Randbedingungen
- Lokale und globale Größen
Mathematische Grundlagen
- Wiederholung relevanter linearer Algebra
- Vektoren und Matrizen
- Lineare Gleichungssysteme
- Lokale und globale Systeme
- Das allgemeine FEM-Gleichungssystem
K u = f
- Bedeutung von Systemmatrix, Lösungsvektor und rechter Seite
- Unterschiedliche physikalische Interpretationen derselben numerischen Struktur
Je nach Anwendungsgebiet kann K beispielsweise eine Steifigkeitsmatrix, Leitfähigkeitsmatrix oder einen anderen diskretisierten physikalischen Operator darstellen.
Formfunktionen und Elementapproximation
- Warum Interpolation in der FEM erforderlich ist
- Einführung in Formfunktionen
- Interpolation innerhalb eines Elements
- Elementkoordinaten
- Lokale und globale Koordinaten
- Ableitungen von Formfunktionen
- Zusammenhang zwischen Elementapproximation und physikalischen Größen
Berechnungen auf Elementebene
- Elementgeometrie
- Lokale Freiheitsgrade
- Elementmatrizen
- Elementvektoren
- Physikalische Parameter auf Elementebene
- Einführung in die numerische Integration
- Integrationspunkte und Gewichte
- Koordinatentransformationen, sofern erforderlich
Softwaretechnische Abbildung des FEM-Modells
Entwicklung geeigneter Python-Komponenten, zum Beispiel:
- Node
- Element
- Material bzw. PhysicalProperties
- BoundaryCondition
- Load bzw. Source
- Mesh
- Model
Softwaretechnische Themen:
- Trennung physikalischer Daten von numerischen Algorithmen,
- wiederverwendbare Elementimplementierungen,
- klare Verantwortlichkeiten von Modell-, Element- und Solver-Komponenten,
- Trennung von Modelldefinition und numerischem Lösungsverfahren.
Praxisübung
Die Teilnehmer implementieren die ersten Komponenten einer kleinen FEM-Anwendung, darunter:
- Erzeugung von Knoten und Elementen,
- Definition physikalischer Parameter,
- Zuordnung von Freiheitsgraden,
- Berechnungen auf Elementebene,
- grundlegende automatisierte Tests.
Tag 2 – Assemblierung und Lösung des globalen Systems
Verwaltung von Freiheitsgraden
- Lokale und globale Freiheitsgrade
- Nummerierung von Freiheitsgraden
- Zuordnung lokaler Elementgrößen zu globalen Indizes
- Behandlung freier und eingeschränkter Freiheitsgrade
- Strategien für größere Modelle
Globale Assemblierung
Schrittweise Implementierung des Finite-Elemente-Systems:
- Berechnung der Elementmatrizen und Elementvektoren
- Bestimmung der zugehörigen globalen Freiheitsgrade
- Transformation der Elementgrößen, sofern erforderlich
- Assemblierung der globalen Systemmatrix
- Assemblierung des globalen Vektors der rechten Seite
Randbedingungen und äußere Einwirkungen
- Wesentliche und natürliche Randbedingungen
- Vorgegebene Werte
- Lasten und Quellterme
- Unterschiedliche Implementierungsstrategien
- Anpassung des Gleichungssystems
- Validierung von Randbedingungen
Lösung des globalen Systems
- Lösung von K u = f
- Dichte lineare Solver mit NumPy
- Einführung in Sparse-Matrizen mit SciPy
- Warum FEM-Matrizen typischerweise dünn besetzt sind
- Gängige Sparse-Matrix-Formate
- Assemblierung von Sparse-Matrizen
- Sparse Linear Solver
- Numerische Genauigkeit
- Konditionierung und numerische Stabilität
Ergebnisauswertung
Je nach gewähltem Anwendungsbeispiel:
- Knotenwerte,
- Gradienten,
- Flüsse,
- Verformungen,
- Dehnungen,
- Spannungen,
- innere Kräfte,
- weitere abgeleitete technische Größen.
Visualisierung
- Visualisierung des Netzes
- Darstellung berechneter Knotenwerte
- Darstellung skalarer Felder
- Darstellung von Verformungen
- Visualisierung elementbezogener Ergebnisse
- Erstellung technischer Ergebnisdiagramme
Praxisübung
Die Teilnehmer vervollständigen einen kleinen FEM-Solver, mit dem sie:
- ein numerisches Modell definieren,
- ein globales System assemblieren,
- Randbedingungen anwenden,
- das Gleichungssystem lösen,
- ausgewählte Ergebnisgrößen berechnen
- und die Lösung visualisieren können.
Tag 3 – Verifikation, Generalisierung und wartbare FEM-Software
Verifikation und Testing
- Warum numerische Software verifiziert werden muss
- Testen von Berechnungen auf Elementebene
- Symmetrieprüfungen
- Konsistenzprüfungen
- Gleichgewichts- bzw. Erhaltungskontrollen
- Vergleich mit analytischen Referenzlösungen
- Numerische Toleranzen
- Automatisierte Tests mit pytest
- Regressionstests
- Plausibilitätsprüfungen
Netzverfeinerung und Konvergenz
- Einfluss der Diskretisierung auf das Ergebnis
- Netzverfeinerung
- Grundlagen der Konvergenz
- Vergleich numerischer Lösungen bei unterschiedlicher Netzauflösung
- Unterscheidung zwischen Modellierungs- und Implementierungsfehlern
Generalisierung der FEM-Implementierung
- Trennung von Elementformulierung und Assemblierung
- Unterstützung unterschiedlicher Elementtypen
- Unterstützung unterschiedlicher physikalischer Problemstellungen
- Generische Behandlung von Freiheitsgraden
- Erweiterbare Material- und Parametermodelle
- Wiederverwendbare Solver-Komponenten
Strukturierung einer wartbaren FEM-Anwendung
Eine mögliche Softwarearchitektur:
Modell → Elemente → Assemblierung → Solver → Ergebnisse → Visualisierung
Möglicher Projektaufbau:
model/
Netz, Knoten, physikalische Parameter und Randbedingungen
elements/
Finite-Elemente-Formulierungen
assembly/
Globale Assemblierung und Freiheitsgradverwaltung
solver/
Randbedingungen und Gleichungslöser
results/
Ergebnisauswertung und abgeleitete Größen
visualization/
Visualisierung von Modell und Ergebnissen
tests/
Automatisierte Verifikation
Behandelt werden dabei unter anderem:
- klare Trennung von Verantwortlichkeiten,
- eindeutige Schnittstellen zwischen Komponenten,
- wiederverwendbare numerische Algorithmen,
- Wartbarkeit und Erweiterbarkeit,
- Vermeidung stark gekoppelter Implementierungen.
Anpassung an unterschiedliche Ingenieurdisziplinen
Die mathematischen und softwaretechnischen Grundlagen des Kurses bleiben allgemein gehalten. Die Praxisbeispiele und die physikalische Interpretation können jedoch an den fachlichen Hintergrund der Teilnehmer angepasst werden.
Mögliche Anwendungsvarianten sind zum Beispiel:
- Bauingenieurwesen / Statik: Fachwerk-, Balken- oder einfache Elastizitätsprobleme
- Maschinenbau: Verformungs- und Spannungsanalysen
- Wärmeübertragung: stationäre Wärmeleitung
- Allgemeine Feldprobleme: Gleichungen vom Poisson-Typ
- Weitere Ingenieurdisziplinen: vergleichbare diskretisierte Feldprobleme entsprechend den Anforderungen der Teilnehmer
Für Statiker können die Übungen beispielsweise anhand eines 2D-Fachwerks, eines Balkens oder eines einfachen Kontinuummodells durchgeführt werden. Für Teilnehmer aus dem Maschinenbau oder der Wärmeübertragung kann dieselbe FEM-Softwarearchitektur stattdessen anhand von Elastizitäts- oder Wärmeleitungsproblemen demonstriert werden.
Abschlussprojekt
Die Teilnehmer führen die Kursinhalte zu einer kleinen, strukturierten FEM-Anwendung zusammen, mit der sie:
- ein diskretisiertes physikalisches Modell definieren,
- Knoten und Elemente erzeugen,
- physikalische Parameter zuweisen,
- Randbedingungen und äußere Einwirkungen definieren,
- Elementbeiträge berechnen,
- das globale System assemblieren,
- das resultierende Gleichungssystem lösen,
- abgeleitete Größen auswerten,
- ausgewählte Berechnungen automatisiert überprüfen,
- das numerische Modell und seine Ergebnisse visualisieren,
- und die Anwendung später um weitere Elementtypen oder physikalische Modelle erweitern können.
Weiterführende Themen und Ausblick
Zum Abschluss wird gezeigt, wie die entwickelte Architektur weiterentwickelt werden kann in Richtung:
- höherdimensionaler Problemstellungen,
- weiterer Elementformulierungen,
- höherwertiger Elemente,
- weiterführender numerischer Integration,
- nichtlinearer Probleme,
- Eigenwertprobleme,
- transienter und dynamischer Simulationen,
- komplexerer Materialmodelle,
- Netzgenerierung,
- adaptiver Netzverfeinerung,
- Performanceoptimierung,
- Parallelisierung,
- grafischer Benutzeroberflächen,
- etablierter FEM-Frameworks wie FEniCSx.
